{
  "scope": "111 multiples of 9 in M1\u2013M1001; arithmetic comparison only, not full Atlas records",
  "proof": "For m=9k, reducing modulo m then modulo 9 equals reducing modulo 9. Divisibility by 3 preserves Gamma selection; interior summation commutes with reduction. The minimal M9 period is 24, so each reduced full period is a repetition of it.",
  "records": [
    {
      "modulus": 9,
      "period": 24,
      "repeat_count": 1,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 18,
      "period": 24,
      "repeat_count": 1,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 27,
      "period": 72,
      "repeat_count": 3,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 36,
      "period": 24,
      "repeat_count": 1,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 45,
      "period": 120,
      "repeat_count": 5,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 54,
      "period": 72,
      "repeat_count": 3,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 63,
      "period": 48,
      "repeat_count": 2,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 72,
      "period": 24,
      "repeat_count": 1,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 81,
      "period": 216,
      "repeat_count": 9,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 90,
      "period": 120,
      "repeat_count": 5,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 99,
      "period": 120,
      "repeat_count": 5,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 108,
      "period": 72,
      "repeat_count": 3,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 117,
      "period": 168,
      "repeat_count": 7,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 126,
      "period": 48,
      "repeat_count": 2,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 135,
      "period": 360,
      "repeat_count": 15,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 144,
      "period": 24,
      "repeat_count": 1,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 153,
      "period": 72,
      "repeat_count": 3,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 162,
      "period": 216,
      "repeat_count": 9,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 171,
      "period": 72,
      "repeat_count": 3,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 180,
      "period": 120,
      "repeat_count": 5,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 189,
      "period": 144,
      "repeat_count": 6,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 198,
      "period": 120,
      "repeat_count": 5,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 207,
      "period": 48,
      "repeat_count": 2,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 216,
      "period": 72,
      "repeat_count": 3,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 225,
      "period": 600,
      "repeat_count": 25,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 234,
      "period": 168,
      "repeat_count": 7,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 243,
      "period": 648,
      "repeat_count": 27,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 252,
      "period": 48,
      "repeat_count": 2,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 261,
      "period": 168,
      "repeat_count": 7,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 270,
      "period": 360,
      "repeat_count": 15,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 279,
      "period": 120,
      "repeat_count": 5,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 288,
      "period": 48,
      "repeat_count": 2,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 297,
      "period": 360,
      "repeat_count": 15,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 306,
      "period": 72,
      "repeat_count": 3,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 315,
      "period": 240,
      "repeat_count": 10,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 324,
      "period": 216,
      "repeat_count": 9,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 333,
      "period": 456,
      "repeat_count": 19,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 342,
      "period": 72,
      "repeat_count": 3,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 351,
      "period": 504,
      "repeat_count": 21,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 360,
      "period": 120,
      "repeat_count": 5,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 369,
      "period": 120,
      "repeat_count": 5,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 378,
      "period": 144,
      "repeat_count": 6,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 387,
      "period": 264,
      "repeat_count": 11,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 396,
      "period": 120,
      "repeat_count": 5,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 405,
      "period": 1080,
      "repeat_count": 45,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 414,
      "period": 48,
      "repeat_count": 2,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 423,
      "period": 96,
      "repeat_count": 4,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 432,
      "period": 72,
      "repeat_count": 3,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 441,
      "period": 336,
      "repeat_count": 14,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 450,
      "period": 600,
      "repeat_count": 25,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 459,
      "period": 72,
      "repeat_count": 3,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 468,
      "period": 168,
      "repeat_count": 7,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 477,
      "period": 216,
      "repeat_count": 9,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 486,
      "period": 648,
      "repeat_count": 27,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 495,
      "period": 120,
      "repeat_count": 5,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 504,
      "period": 48,
      "repeat_count": 2,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 513,
      "period": 72,
      "repeat_count": 3,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 522,
      "period": 168,
      "repeat_count": 7,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 531,
      "period": 696,
      "repeat_count": 29,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 540,
      "period": 360,
      "repeat_count": 15,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 549,
      "period": 120,
      "repeat_count": 5,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 558,
      "period": 120,
      "repeat_count": 5,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 567,
      "period": 432,
      "repeat_count": 18,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 576,
      "period": 96,
      "repeat_count": 4,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 585,
      "period": 840,
      "repeat_count": 35,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 594,
      "period": 360,
      "repeat_count": 15,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 603,
      "period": 408,
      "repeat_count": 17,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 612,
      "period": 72,
      "repeat_count": 3,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 621,
      "period": 144,
      "repeat_count": 6,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 630,
      "period": 240,
      "repeat_count": 10,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 639,
      "period": 840,
      "repeat_count": 35,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 648,
      "period": 216,
      "repeat_count": 9,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 657,
      "period": 888,
      "repeat_count": 37,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 666,
      "period": 456,
      "repeat_count": 19,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 675,
      "period": 1800,
      "repeat_count": 75,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 684,
      "period": 72,
      "repeat_count": 3,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 693,
      "period": 240,
      "repeat_count": 10,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 702,
      "period": 504,
      "repeat_count": 21,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 711,
      "period": 312,
      "repeat_count": 13,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 720,
      "period": 120,
      "repeat_count": 5,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 729,
      "period": 1944,
      "repeat_count": 81,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 738,
      "period": 120,
      "repeat_count": 5,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 747,
      "period": 168,
      "repeat_count": 7,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 756,
      "period": 144,
      "repeat_count": 6,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 765,
      "period": 360,
      "repeat_count": 15,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 774,
      "period": 264,
      "repeat_count": 11,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 783,
      "period": 504,
      "repeat_count": 21,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 792,
      "period": 120,
      "repeat_count": 5,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 801,
      "period": 264,
      "repeat_count": 11,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 810,
      "period": 1080,
      "repeat_count": 45,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 819,
      "period": 336,
      "repeat_count": 14,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 828,
      "period": 48,
      "repeat_count": 2,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 837,
      "period": 360,
      "repeat_count": 15,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 846,
      "period": 96,
      "repeat_count": 4,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 855,
      "period": 360,
      "repeat_count": 15,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 864,
      "period": 144,
      "repeat_count": 6,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 873,
      "period": 1176,
      "repeat_count": 49,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 882,
      "period": 336,
      "repeat_count": 14,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 891,
      "period": 1080,
      "repeat_count": 45,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 900,
      "period": 600,
      "repeat_count": 25,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 909,
      "period": 600,
      "repeat_count": 25,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 918,
      "period": 72,
      "repeat_count": 3,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 927,
      "period": 624,
      "repeat_count": 26,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 936,
      "period": 168,
      "repeat_count": 7,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 945,
      "period": 720,
      "repeat_count": 30,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 954,
      "period": 216,
      "repeat_count": 9,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 963,
      "period": 72,
      "repeat_count": 3,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 972,
      "period": 648,
      "repeat_count": 27,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 981,
      "period": 216,
      "repeat_count": 9,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 990,
      "period": 120,
      "repeat_count": 5,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    },
    {
      "modulus": 999,
      "period": 1368,
      "repeat_count": 57,
      "checks": {
        "alpha": true,
        "gamma": true,
        "beta": true,
        "gamma_indices": true
      }
    }
  ]
}